Matematyka

Współczynniki funkcji liniowej

W algebrze elementarnej i geometrii analitycznej pod pojęciem funkcji liniowej rozumie się funkcję wielomianową stopnia co najwyżej pierwszego (tj. pierwszego stopnia lub funkcję stałą).

Innymi słowy, funkcją liniową nazywamy funkcję $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ postaci $f (x) = ax + b$ , gdzie $a$ i $b$ są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, (ogólniej można mówić o funkcjach liniowych określonych dla liczb zespolonych).

Trzy funkcje liniowe – czerwona i niebieska mają ten sam współczynnik kierunkowy ( $a$ ), zaś czerwona i zielona ten sam punkt przecięcia z osią $OY$ ( $b$ ).

Nazwa pochodzi stąd, że są to dokładnie te funkcje, których wykres na płaszczyźnie w kartezjańskim układzie współrzędnych jest linią prostą. Dokładniej: dla $x \in \mathbb R$ wykresem funkcji $f (x)$ jest prosta dana równaniem $y = ax + b$ .

Liczbę $a$ nazywamy współczynnikiem kierunkowym (kątowym) wspomnianej prostej. W prostokątnym układzie współrzędnych o równych jednostkach $a$ interpretujemy jako tangens nachylenia owej prostej do osi $OX$ układu współrzędnych, $b$ to tzw. wyraz wolny, interpretowany jako punkt przecięcia prostej z osią $OY$ układu w punkcie $(0,\; b)$ .

Własności [edytuj]

Funkcja liniowa $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ jest

ciągła,
różniczkowalna, gdyż $f' \equiv a$ ,
różnowartościowa dla $a \ne 0$ ,
nieokresowa dla $a \ne 0$ ,
monotoniczna:

rosnąca dla $a > 0$ ,
malejąca dla $a < 0$ ,
stała dla $a = 0$ ,

parzysta dla $a = 0$ ,
nieparzysta dla $b = 0$ .

Gdy $a = 1,\; b = 0$ , mamy do czynienia ze szczególnym przypadkiem funkcji liniowej – mianowicie funkcja tożsamościową określoną wzorem $f (x) = x$ .

Algebra liniowa [edytuj]

W algebrze liniowej rozpatruje się podobne funkcje, które w celu uniknięcia nieporozumień, nazywa się przekształceniami lub odwzorowaniami.

Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję $f (x) = ax$ określoną na przestrzeni liniowej, z kolei funkcje liniowe $f (x) = ax + b$ noszą nazwę przekształceń afinicznych (określane na przestrzeniach afinicznych).